군론 (Group Theory)

1. 군(Group)이란 무엇인가?

군(Group)은 연산이 잘 작동하는 집합이다.

예시

정수에서 덧셈: 3 + 5 = 8 → 결과가 정수

정수에서 나눗셈: 3 / 5 = 0.6 → 결과가 정수가 아님

정식 정의

집합 $G$와 이항연산 $*$가 다음 4가지 조건을 만족하면 $(G, *)$를 군(Group)이라 한다.

2. 예시로 이해하기

2-1. $(\mathbb{Z}, +)$ — 정수와 덧셈

$(\mathbb{Z}, +)$는 군이다.

2-2. $(\mathbb{Z}, \times)$ — 정수와 곱셈

$(\mathbb{Z}, \times)$는 군이 아니다.

2-3. $(\mathbb{Z}_n, +)$ — 모듈러 덧셈 군

예: $\mathbb{Z}_5 = \{0, 1, 2, 3, 4\}$

2-4. $(\mathbb{Z}_p^*, \times)$ — 모듈러 곱셈 군

예: $\mathbb{Z}_7^* = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

각 원소의 역원 (mod 7):

$p$가 소수여야 하는 이유

$\mathbb{Z}_6^* = \{1,2,3,4,5\}$에서 $2 \times {?} \equiv 1 \pmod{6}$을 만족하는 정수가 존재하지 않는다.

3. 군의 위수 (Order)

3-1. 군의 위수

군 $G$의 위수(order)는 $G$의 원소 개수이며, $|G|$로 표기한다.

3-2. 원소의 위수

원소 $a$의 위수는 $a^n = e$를 만족하는 최소 양의 정수 $n$이며, $\text{ord}(a)$로 표기한다.

또한 a라는 원소 하나만 가지고 $\langle a \rangle$이라는 부분군을 만들 수 있다.

여기서 $\text n=ord(a)$ 이다. 왜냐하면:

• $a^n = e$ 니까 $a^n$부터는 다시 $e, a, a^2, ...$ 로 순환
• 그래서 서로 다른 원소는 정확히 $\{{e,a,a^2,a^3,…,a^{n−1}}\}$의 n개

즉:

원소의 위수 = 그 원소가 만드는 부분군의 위수

3-3. 라그랑주 정리

정리 서술

정리 (Lagrange's Theorem)

유한군 $G$의 부분군 $H$에 대해 $|H|$는 $|G|$를 나눈다.

$|H| \,\Big|\, |G|$

기호 $a \mid b$는 "$a$가 $b$를 나눈다"는 뜻이다. 즉, $b$가 $a$의 배수임을 나타낸다.

증명 스케치

핵심 아이디어는 잉여류(coset)가 $G$를 같은 크기의 조각으로 분할한다는 것이다.

$g \in G$와 부분군 $H$에 대해 좌잉여류를 다음과 같이 정의한다.

이때 다음 세 성질이 성립한다.

따라서 $G$는 크기가 정확히 $|H|$인 조각들로 완전히 분할되며, 조각의 개수를 $k$라 하면:

여기서 $k = [G : H]$를 지표(index)라 하며, 잉여류의 개수이다.

예시: $G = \mathbb{Z}_6,\ H = \{0, 3\}$

좌잉여류들:

세 잉여류가 $\mathbb{Z}_6$을 완전히 분할하며 각 크기는 $2$이다.

따름정리 1: 원소의 위수는 군의 위수를 나눈다

$a \in G$에 대해 $\langle a \rangle$는 $G$의 부분군이며, 그 크기는 $a$의 위수와 같다.

라그랑주 정리를 $\langle a \rangle \leq G$에 적용하면:

예: $\mathbb{Z}_7^*$ ($|G| = 6$)에서 원소별 위수

모든 위수가 $6$의 약수 ($1, 2, 3, 6$) 중 하나이며, $4$나 $5$ 같은 값은 나올 수 없다.

따름정리 2: $a^{|G|} = e$

모든 $a \in G$에 대해 $\text{ord}(a) = d$라 하면 $|G| = dk$이므로,

따름정리 3: 페르마의 소정리 (Fermat's Little Theorem)

$p$가 소수이고 $\gcd(a, p) = 1$이면:

증명: $\mathbb{Z}_p^*$에 따름정리 2를 적용한다. $|\mathbb{Z}_p^*| = p - 1$이므로 바로 성립한다.

따름정리 4: 오일러 정리 (Euler's Theorem)

$\gcd(a, n) = 1$이면:

증명: $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*$에 따름정리 2를 적용한다. $|(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*| = \varphi(n)$이므로 성립한다.

RSA 암호 시스템이 작동하는 수학적 근거가 바로 이 따름정리이다.

따름정리 5: 소수 위수 군은 순환군

$|G| = p$가 소수일 때, $e$가 아닌 임의의 원소 $a \in G$에 대해 $\text{ord}(a) \mid p$이고 $\text{ord}(a) \neq 1$이므로 $\text{ord}(a) = p$이다. 따라서 $a$가 $G$ 전체를 생성하며:

주의: 역은 성립하지 않는다

$d \mid |G|$라고 해서 위수가 $d$인 부분군이 반드시 존재하는 것은 아니다.

반례: 교대군 $A_4$는 $|A_4| = 12$이지만 위수 $6$인 부분군이 존재하지 않는다.

단, 다음 경우에는 존재가 보장된다.

4. 순환군과 생성원

4-1. 순환군 (Cyclic Group)

하나의 원소로 군의 모든 원소를 생성할 수 있으면 순환군이라 한다.

4-2. 생성원 (Generator)

순환군에서 군의 모든 원소를 생성하는 원소를 생성원이라 한다.

판별법: $g^{p-1} = 1$이고, 그 전에 $1$이 나오지 않으면 생성원이다.

예: $\mathbb{Z}_7^*$에서 $g = 3$

4-3. 생성원의 개수

여기서 $\varphi$는 오일러 피 함수(Euler's totient function)이다.

($p_1, p_2, \ldots, p_k$: $n$의 서로 다른 소인수)

예:

$\mathbb{Z}_7^*=\{1,2,3,4,5,6\}$

각 원소의 거듭제곱을 확인해 보면:

• $3^2\equiv 2$
• $3^3\equiv 6$
• $3^4\equiv 4$
• $3^5\equiv 5$
• $3^6\equiv 1 \pmod 7$

즉 3은 모든 원소를 만들어내므로 생성원이다.

또 5도 생성원이다:

• $5^1\equiv 5$
• $5^2\equiv 4$
• $5^3\equiv 6$
• $5^4\equiv 2$
• $5^5\equiv 3$
• $5^6\equiv 1 \pmod 7$

반면 2는 $2^1=2,\;2^2=4,\;2^3=1$ 이라서 전체를 만들지 못하므로 생성원이 아니다.

따라서 생성원은 $\{3,5\}$이고, 개수는 2개이다. 이는 $\varphi(6)=2$ 와 일치한다.

따라서 $\mathbb{Z}_7^*$의 생성원은 $\{3, 5\}$, 총 2개이다.

5. 이산 로그 문제

5-1. 지수 표현

순환군에서 모든 원소는 생성원의 거듭제곱으로 표현된다.

$\mathbb{Z}_7^* = \langle 3 \rangle$에서:

5-2. 이산 로그 (Discrete Logarithm)

$g^x = h$일 때, $x$를 $h$의 이산 로그라 한다.

예: $\mathbb{Z}_7^*$에서 $g = 3$

6. 아벨군 (Abelian Group)

6-1. 정의

군 $(G, *)$의 4가지 조건에 더해 교환법칙(commutativity)까지 만족하면 아벨군이라 한다.

이름은 노르웨이의 수학자 니엘스 아벨(Niels Abel)에서 유래했다.

6-2. 아벨군과 비아벨군 예시

6-3. 비아벨군의 구체적 반례

대칭군 $S_3$에서 $\sigma = (1\ 2)$, $\tau = (1\ 2\ 3)$으로 두면:

두 결과가 다르므로 $S_3$는 아벨군이 아니다.

6-4. 아벨군의 주요 성질

6-5. 아벨군의 덧셈 표기법

아벨군은 관습적으로 덧셈 표기법을 사용한다.

6-6. 유한 아벨군의 분류 정리

정리 (Fundamental Theorem of Finite Abelian Groups)

모든 유한 아벨군은 소수의 거듭제곱 위수를 갖는 순환군들의 직적(direct product)으로 유일하게 분해된다.

$G \cong \mathbb{Z}_{p_1^{a_1}} \times \mathbb{Z}_{p_2^{a_2}} \times \cdots \times \mathbb{Z}_{p_k^{a_k}}$

이 정리는 유한 아벨군은 구조적으로 완전히 파악되었음을 의미한다.

예: 위수 $12$인 아벨군은 본질적으로 두 가지뿐이다.

예: 위수 $8$인 아벨군은 세 가지이다.

6-7. 직적 (Direct Product)

두 군 $(G, *)$, $(H, \cdot)$에 대해 직적 $G \times H$는 다음과 같이 정의된다.

연산: $(g_1, h_1)(g_2, h_2) = (g_1 * g_2,\ h_1 \cdot h_2)$

예: $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3$

원소는

$\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3=\{(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2)\}$

연산은 성분별 덧셈이다.

예를 들어

$(1,2)+(1,1)=(0,0)$ 이다. 왜냐하면

• 첫째 성분: $1+1\equiv 0 \pmod 2$
• 둘째 성분: $2+1\equiv 0 \pmod 3$

따라서 $(1,2)$의 역원은 $(1,1)$이다.

또 이 군의 위수는

$|\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_3|=2\cdot 3=6$ 이다.

성질:

• $|G \times H| = |G| \cdot |H|$
• $G, H$가 아벨군이면 $G \times H$도 아벨군
• $\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n \cong \mathbb{Z}_{mn}$ 이면서 동치는 $\gcd(m, n) = 1$ (중국인 나머지 정리, CRT)

6-8. 아벨군이 인 이유가 중요한 개념들

6-9. 아벨군과 순환군의 관계

7. 부분군 (Subgroup)

7-1. 정의

군 $(G, *)$의 부분집합 $H \subseteq G$가 $G$의 연산 아래에서 그 자체로 군을 이루면 $H$를 $G$의 부분군이라 하고, $H \leq G$로 표기한다.

7-2. 부분군 판별법

$H \subseteq G$가 부분군이려면 다음을 만족해야 한다.

한 줄 판별법

$H$가 비어있지 않고, $\forall a, b \in H,\ a * b^{-1} \in H$이면 부분군이다.

7-3. 예시

7-4. 순환 부분군

원소 $a \in G$에 대해 $\langle a \rangle = \{a^n \mid n \in \mathbb{Z}\}$를 $a$가 생성하는 순환 부분군이라 한다.

8. 잉여류와 정규부분군

8-1. 잉여류 (Coset)

$H \leq G$이고 $g \in G$일 때, 다음과 같이 정의한다.

예: $G = \mathbb{Z}_6,\ H = \{0, 3\}$

$G$는 잉여류들로 분할된다.

8-2. 라그랑주 정리 (재확인)

$H \leq G$일 때, $|G| = [G : H] \cdot |H|$

여기서 $[G : H]$는 잉여류의 개수 (지표, index)이다.

8-3. 정규부분군 (Normal Subgroup)

$H \leq G$가 모든 $g \in G$에 대해 $gH = Hg$를 만족하면 정규부분군이라 하고, $H \triangleleft G$로 표기한다.

동치 조건

$\forall g \in G,\ \forall h \in H,\ g * h * g^{-1} \in H$

아벨군에서는 모든 부분군이 정규부분군이다.

9. 몫군 (Quotient Group)

9-1. 정의

$H \triangleleft G$일 때, 잉여류들의 집합에 연산을 정의하면 다시 군이 된다.

연산:

이 군을 몫군이라 한다.

9-2. 성질

9-3. 예시

$G = \mathbb{Z},\ H = n\mathbb{Z}$일 때,

즉 $\mathbb{Z}_n$은 정수군을 $n$의 배수로 나눈 몫군이다.

10. 군 준동형 (Group Homomorphism)

10-1. 정의

두 군 $(G, *)$, $(G', \cdot)$ 사이의 함수 $\varphi: G \to G'$가 다음을 만족하면 준동형이다.

10-2. 핵과 상 (Kernel and Image)

10-3. 동형사상 (Isomorphism)

준동형 $\varphi$가 전단사(bijection)이면 동형사상이라 하고, $G \cong G'$로 표기한다. 두 군은 본질적으로 같은 구조를 가진다.

10-4. 이산 로그와의 연결

순환군 $\mathbb{Z}_p^* = \langle g \rangle$에서 다음 함수는 동형사상이다.

이산 로그 문제는 $\varphi$의 역함수를 계산하는 문제이다.

11. 군의 동형 정리

11-1. 제1 동형 정리 (가장 중요)

준동형 $\varphi: G \to G'$에 대해

$G / \ker(\varphi) \cong \text{im}(\varphi)$

핵으로 나눈 몫군은 상과 동형이다. 군론 전체에서 가장 핵심적인 정리 중 하나이다.

11-2. 제2 동형 정리

$H \leq G$, $N \triangleleft G$일 때

$(HN) / N \cong H / (H \cap N)$

11-3. 제3 동형 정리

$N \triangleleft G$, $K \triangleleft G$, $K \subseteq N$일 때

$(G / K) / (N / K) \cong G / N$

12. 유한 아벨군의 분류 정리

정리 (Fundamental Theorem of Finite Abelian Groups)

모든 유한 아벨군은 소수의 거듭제곱 위수를 갖는 순환군들의 직적으로 유일하게 분해된다.

$G \cong \mathbb{Z}_{p_1^{a_1}} \times \mathbb{Z}_{p_2^{a_2}} \times \cdots \times \mathbb{Z}_{p_k^{a_k}}$

예: 위수 $12$의 아벨군은 본질적으로 두 가지뿐이다.

유한 아벨군은 전부 "분류 완료"되었다는 뜻이다.

13. 환 (Ring)과 체 (Field)

13-1. 환 (Ring)

집합 $R$과 두 연산 $+, \times$가 다음을 만족하면 환이다.

예: $(\mathbb{Z}, +, \times)$, $(\mathbb{Z}_n, +, \times)$

13-2. 체 (Field)

환 $(F, +, \times)$에서 $0$을 제외한 모든 원소가 곱셈에 대한 역원을 가지면 체이다.

즉 $(F \setminus \{0\}, \times)$가 아벨군

예:

$\mathbb{Z}_p^*$가 군이 되는 이유가 바로 $\mathbb{Z}_p$가 체이기 때문이다.

13-3. 타원곡선과의 연결

체 $\mathbb{F}_p$ 위에서 정의된 타원곡선의 점들은 아벨군을 이룬다. 이 구조가 타원곡선 암호(ECC)와 zk-SNARK 기반 암호 시스템의 수학적 토대이다.

14. 갈루아 이론 (Galois Theory) 맛보기

14-1. 핵심 아이디어

체의 확장 $F \subseteq E$에 대해, $F$를 고정하는 $E$의 자기동형사상들의 집합은 군을 이룬다. 이를 갈루아 군 $\text{Gal}(E/F)$이라 한다.

14-2. 갈루아 대응

체의 중간 확장들과 갈루아 군의 부분군들 사이에 일대일 대응이 존재한다.

체의 구조에 대한 문제가 군의 구조에 대한 문제로 환원된다.

14-3. 역사적 의의

갈루아 이론은 다음 문제를 해결했다.

군론이 순수 수학의 도구로서 왜 중요한지를 보여주는 가장 극적인 예시이다.